Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus ou, pourquoi pas, de créer leur propre blog...
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.


dimanche 16 novembre 2008

Hypotrochoïde



Hypotrochoïde

En géométrie, les hypotrochoïdes sont des courbes planes décrites par un point lié à un cercle mobile roulant sans glisser sur et intérieurement à un cercle de base, le cercle roulant étant plus petit que le fixe. On peut tracer ces courbes avec un spirographe.

Le mot se compose des racines grecques hupo (au-dessous) et trokhos (la roue). Lorsque le cercle roule à l'extérieur, on a affaire à une épitrochoïde.
Ces courbes ont été étudiées par Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer en 1674 et Daniel Bernoulli en 1725.

Pour en savoir plus : mathcurve.com

samedi 15 novembre 2008

Cycles de moussons et déclin des dynasties chinoises

Les cycles de moussons auraient eu une influence sur le déclin de certaines dynasties chinoises, d’après des chercheurs de l’Université de Lanzhou.
Ces chercheurs ont daté les périodes de hautes et de basses moussons présentes en Chine depuis 1800 ans en analysant chimiquement une stalagmite contenant des concentrations anormalement élevées d’uranium trouvée dans une grotte du nord ouest du pays.
L’analyse de cette stalagmite de 1 mètre 18 a mis en évidence des cycles de mousson qui correspondent non seulement à des épisodes climatiques connus, comme la retraite des glaciers alpins, mais également à des périodes de l’histoire chinoise
D’après les chercheurs, les moussons étaient faibles à la fin des dynasties Tang (618-907), Yuan (1271-1368) et Ming (1368-1644), suggérant que les conditions climatiques auraient eu une influence sur la chute de ces dynasties.
De même, les périodes de moussons fortes correspondraient à des périodes de croissance : "Pendant les périodes de moussons fortes, certaines dynasties ont connu une augmentation de la culture du riz et la population a prospèré, comme celle des Song du Nord (960-1127)", ont déclaré les auteurs de l’étude.
D’après ces chercheurs, l’analyse de la stalagmite met également en évidence le rôle des activités humaines dans le changement climatique actuel : Dans le passé, les périodes de températures élevées correspondaient à des périodes de moussons relativement fortes, une relation qui a disparu depuis 50 ans, avec des températures qui augmentent et des moussons faibles.

Source : Sur la toile

vendredi 14 novembre 2008

Savoir-faire en maths

Présentation de l'éditeur
Ce manuel a été conçu pour aider les étudiants à bien réussir leur première année d'études scientifiques. Il leur sera utile pour se préparer avant de commencer les études, et leur servira de support de cours durant les deux premiers semestres. Pédagogique et didactique, il présente des concepts de base des mathématiques, sous la forme de problèmes à résoudre et de rappels des notions théoriques s'y rapportant. Les étudiants pourront l'utiliser en commençant par le chapitre de leur choix ; il leur permettra d'évaluer leur capacité à résoudre un problème et à contrôler la justesse de leurs raisonnements.

Mon avis
Un bon petit livre composé d'un peu de théorie et de beaucoup d'exercices, avec solutions détaillées. Pour les élèves, l'occasion de voir le niveau demandé pour entrer à l'uni ou dans une école polytechnique (et de mieux comprendre pourquoi les profs sont si exigeants). Pour les profs, un bon résumé des objectifs à atteindre avec les élèves.

jeudi 13 novembre 2008

Les mathématiques avec Geogebra

Daniel Mentrard : "Après avoir pratiqué des années sous le tableur Excel, j'ai découvert Geogebra. C'est un logiciel que je conseille fortement à tout le monde, non seulement pour sa gratuité, mais aussi pour sa facilité d'emploi vis-à-vis de certaines tâches. Voici quelques animations et des applications constructives pour vos séquences d'enseignement".
A découvrir sur Les mathématiques avec Geogebra.

mercredi 12 novembre 2008

Vérifier les démonstrations par ordinateur

Vérifier sans faille les démonstrations mathématiques par ordinateur

De nouveaux outils informatiques pourraient révolutionner la pratique des mathématiques en fournissant les démonstrations les plus fiables ayant jamais été produites. Ces outils, basés sur la notion de "preuve formelle", ont été utilisés ces dernières années pour donner des démonstrations presque infaillibles de nombreux résultats importants en mathématiques. Une série de quatre articles écrits par des experts reconnus, et qui vient d'être publiée dans les Notices of the American Mathematical Society, explore des développements nouveaux dans l'utilisation de la preuve formelle en mathématiques.

Lorsque les mathématiciens démontrent des théorèmes de manière traditionnelle, ils présentent leurs arguments sous forme narrative. Ils assument des résultats précédents, ils glissent sur des détails qu'ils pensent que les autres experts comprendront, ils prennent des raccourcis pour rendre la présentation moins pénible, ils font appel à l'intuition, etc. L'exactitude des arguments est déterminée par l'examen minutieux effectué par d'autres mathématiciens, au cours de discussions informelles, lors de conférences, ou dans des articles. Il est important de se rendre compte que les moyens par lesquels les résultats mathématiques sont vérifiés constituent essentiellement un procédé social donc faillible. Quand elle concerne un résultat primordial et bien connu, la démonstration est particulièrement bien contrôlée et des erreurs sont éventuellement trouvées. Cependant l'histoire des mathématiques a connu des résultats faux qui sont restés longtemps non décelés. En outre, pour quelques cas récents, des théorèmes importants exigeaient des démonstrations tellement longues et complexes que très peu de gens ont le temps, l'énergie, et le fond de connaissance nécessaire pour en vérifier l'exactitude par eux-mêmes. Enfin, certaines démonstrations contiennent un code informatique considérable pour, par exemple, vérifier de nombreux cas qu'il serait impossible de contrôler à la main. Comment les mathématiciens peuvent-ils alors être sûrs que de telles démonstrations soient fiables ?

Pour venir à bout de ces problèmes, des informaticiens et des mathématiciens ont commencé à développer le domaine de la preuve formelle. Une preuve formelle est une démonstration dans laquelle chaque inférence logique est systématiquement contrôlée vis-à-vis des axiomes fondamentaux des mathématiques. Les mathématiciens n'écrivent habituellement pas ces preuves formelles parce qu'elles sont si longues et "encombrantes" qu'il serait impossible de les faire vérifier par des mathématiciens humains. Mais on peut désormais obliger des "assistants informatiques" à procéder à ce contrôle. Ces dernières années, ces assistants sont devenus assez puissants pour manipuler des démonstrations complexes.

Dans quelques cas simples uniquement on peut donner un énoncé à l'ordinateur et s'attendre à ce que celui-ci fournisse une démonstration de lui-même. En règle générale, le mathématicien doit savoir démontrer cet énoncé ; la démonstration est ensuite exposée avec la syntaxe spécifique de la preuve formelle, chaque étape étant définie, et c'est cette preuve formelle que l'ordinateur contrôle. Il est également possible de laisser l'ordinateur explorer des mathématiques qui lui soient propres: il est arrivé dans certains cas que la machine propose des conjectures intéressantes qui étaient passées inaperçues aux mathématiciens. Nous sommes peut-être proches d'un temps où nous verrons les ordinateurs, plutôt que les êtres humains, faire des mathématiques.

Les quatre articles de Notices explorent la situation actuelle de la preuve formelle et fournissent des conseils pratiques pour l'utilisation de ces assistants informatiques. Si l'usage de ces aides se répand, ils pourraient changer profondément les mathématiques telles qu'elles sont actuellement pratiquées. Un rêve à long terme serait de posséder les démonstrations formelles de tous les théorèmes centraux des mathématiques. Thomas Hales, un des auteurs, indique qu'un tel ensemble de démonstrations serait apparentée au "séquencement du génome mathématique".

Les quatre articles sont:

  • Formal Proof, par Thomas Hales, université de Pittsburgh
  • Formal Proof - Theory and Practice, par John Harrison, Intel Corporation
  • Formal proof - The Four Colour Theorem, par Georges Gonthier, Recherche Microsoft, Cambridge, Angleterre
  • Formal Proof - Getting Started , par Freek Wiedijk, université de Radboud, Nimègue, Pays-Bas
Ces articles paraissent dans l'édition de décembre 2008 de Notices et sont en consultation libre sur le site de l'AMS.

Source : techno-sciences.net

mardi 11 novembre 2008

Etonnante précision


L'étoile mystérieuse, par Hergé

Remarquez l'incroyable précision de 387'000'000'000'000,0005 ! A faire hurler les profs de physique et de maths...

lundi 10 novembre 2008

Editeur d'équations pour le web

LaTeX equation editor for the internet permet de créer des formules en ligne, qui pourront ensuite être collées sur une page web. Je ne l'ai pas essayé à fond, mais il me semble que c'est utilisable même si, comme moi, on est allergique à LaTeX.

dimanche 9 novembre 2008

Neuf-Brisach

Ce village situé sur la rive gauche du Rhin vaut son origine à Louis XIV qui fit appel à Vauban pour créer et fortifier une cité représentant la porte d'entrée de l'Alsace devenue vulnérable après le traité de Ryswick. C'est ainsi que cette ville a émergé d'un terrain vierge face à Vieux Brisach devenue propriété allemande. Neuf-Brisach a la forme octogonale pourvue d'une triple ligne de défense. Dernier ouvrage de Vauban, c'est un véritable bijou, témoin quasi intact de l'architecture militaire du Grand Siècle. Grâce à son système défensif, la cité a résisté au siège des Autrichiens en 1814, aux bombardements de la guerre de 1870 puis aux deux guerres mondiales.




Neuf-Brisach est inscrite sur la liste du patrimoine mondial de l'UNESCO depuis le 7 juillet 2008.

Pour en savoir plus sur les fortifications de Vauban : De la fortification
Un site sur Neuf-Brisach : http://neuf-brisach.net/

samedi 8 novembre 2008

Le carré fortifié

Un article tiré du Magazine Tangente no 124, p. 38.

vendredi 7 novembre 2008

Nombre Taxicab

En mathématiques, le nième nombre taxicab, noté Ta(n) ou Taxicab(n), est défini comme le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes à l'ordre des opérandes près. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1954 que de tels nombres existent pour tous les entiers n ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment les construire, et pour le moment, seuls les cinq premiers nombres taxicab sont connus :

Ta(1) = 2 = 13 + 13
Ta(2) = 1729 = 13 + 123 = 93 + 103
Ta(3) = 87539319 = 16733 + 43633 = 22833 + 42333 = 25533 + 41433
...

Ta(2) fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657 et fut plus tard immortalisé par une anectode impliquant les mathématiciens Hardy et Srinivasa Ramanujan :

« Je [G. H. Hardy] me rappelle qu'une fois en allant le voir [Ramanujan] lorsqu'il était couché et malade à Putney, j'ai été conduit dans un taxi-cab portant le n°1729, et remarquai que le nombre (7·13·19) semblait plutôt ennuyeux, et j'espérai qu'il ne fût pas un présage défavorable. « Non », me dit-il, « c'est un nombre très intéressant ; il est le plus petit nombre exprimable comme une somme de deux cubes [positifs] en deux manières différentes. »


Les nombres taxicab postérieurs furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs; John Leech obtint Ta(3) en 1957, E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent Ta(4) en 1991, et David W. Wilson trouva Ta(5) en novembre 1997.

Source : Wikipédia

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