Le blog-notes mathématique du coyote

 

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Editorial

Ce blog a pour sujet les mathématiques et leur enseignement au Lycée. Son but est triple.
Premièrement, ce blog est pour moi une manière idéale de classer les informations que je glâne au cours de mes voyages en Cybérie.
Deuxièmement, ces billets me semblent bien adaptés à la génération zapping de nos élèves. Ces textes courts, privilégiant le côté ludique des maths, pourront, je l'espère, les intéresser et leur donner l'envie d'en savoir plus ou, pourquoi pas, de créer leur propre blog...
Enfin, c'est un bon moyen de communiquer avec des collègues de toute la francophonie.


mercredi 12 novembre 2008

Vérifier les démonstrations par ordinateur

Vérifier sans faille les démonstrations mathématiques par ordinateur

De nouveaux outils informatiques pourraient révolutionner la pratique des mathématiques en fournissant les démonstrations les plus fiables ayant jamais été produites. Ces outils, basés sur la notion de "preuve formelle", ont été utilisés ces dernières années pour donner des démonstrations presque infaillibles de nombreux résultats importants en mathématiques. Une série de quatre articles écrits par des experts reconnus, et qui vient d'être publiée dans les Notices of the American Mathematical Society, explore des développements nouveaux dans l'utilisation de la preuve formelle en mathématiques.

Lorsque les mathématiciens démontrent des théorèmes de manière traditionnelle, ils présentent leurs arguments sous forme narrative. Ils assument des résultats précédents, ils glissent sur des détails qu'ils pensent que les autres experts comprendront, ils prennent des raccourcis pour rendre la présentation moins pénible, ils font appel à l'intuition, etc. L'exactitude des arguments est déterminée par l'examen minutieux effectué par d'autres mathématiciens, au cours de discussions informelles, lors de conférences, ou dans des articles. Il est important de se rendre compte que les moyens par lesquels les résultats mathématiques sont vérifiés constituent essentiellement un procédé social donc faillible. Quand elle concerne un résultat primordial et bien connu, la démonstration est particulièrement bien contrôlée et des erreurs sont éventuellement trouvées. Cependant l'histoire des mathématiques a connu des résultats faux qui sont restés longtemps non décelés. En outre, pour quelques cas récents, des théorèmes importants exigeaient des démonstrations tellement longues et complexes que très peu de gens ont le temps, l'énergie, et le fond de connaissance nécessaire pour en vérifier l'exactitude par eux-mêmes. Enfin, certaines démonstrations contiennent un code informatique considérable pour, par exemple, vérifier de nombreux cas qu'il serait impossible de contrôler à la main. Comment les mathématiciens peuvent-ils alors être sûrs que de telles démonstrations soient fiables ?

Pour venir à bout de ces problèmes, des informaticiens et des mathématiciens ont commencé à développer le domaine de la preuve formelle. Une preuve formelle est une démonstration dans laquelle chaque inférence logique est systématiquement contrôlée vis-à-vis des axiomes fondamentaux des mathématiques. Les mathématiciens n'écrivent habituellement pas ces preuves formelles parce qu'elles sont si longues et "encombrantes" qu'il serait impossible de les faire vérifier par des mathématiciens humains. Mais on peut désormais obliger des "assistants informatiques" à procéder à ce contrôle. Ces dernières années, ces assistants sont devenus assez puissants pour manipuler des démonstrations complexes.

Dans quelques cas simples uniquement on peut donner un énoncé à l'ordinateur et s'attendre à ce que celui-ci fournisse une démonstration de lui-même. En règle générale, le mathématicien doit savoir démontrer cet énoncé ; la démonstration est ensuite exposée avec la syntaxe spécifique de la preuve formelle, chaque étape étant définie, et c'est cette preuve formelle que l'ordinateur contrôle. Il est également possible de laisser l'ordinateur explorer des mathématiques qui lui soient propres: il est arrivé dans certains cas que la machine propose des conjectures intéressantes qui étaient passées inaperçues aux mathématiciens. Nous sommes peut-être proches d'un temps où nous verrons les ordinateurs, plutôt que les êtres humains, faire des mathématiques.

Les quatre articles de Notices explorent la situation actuelle de la preuve formelle et fournissent des conseils pratiques pour l'utilisation de ces assistants informatiques. Si l'usage de ces aides se répand, ils pourraient changer profondément les mathématiques telles qu'elles sont actuellement pratiquées. Un rêve à long terme serait de posséder les démonstrations formelles de tous les théorèmes centraux des mathématiques. Thomas Hales, un des auteurs, indique qu'un tel ensemble de démonstrations serait apparentée au "séquencement du génome mathématique".

Les quatre articles sont:

  • Formal Proof, par Thomas Hales, université de Pittsburgh
  • Formal Proof - Theory and Practice, par John Harrison, Intel Corporation
  • Formal proof - The Four Colour Theorem, par Georges Gonthier, Recherche Microsoft, Cambridge, Angleterre
  • Formal Proof - Getting Started , par Freek Wiedijk, université de Radboud, Nimègue, Pays-Bas
Ces articles paraissent dans l'édition de décembre 2008 de Notices et sont en consultation libre sur le site de l'AMS.

Source : techno-sciences.net

mardi 11 novembre 2008

Etonnante précision


L'étoile mystérieuse, par Hergé

Remarquez l'incroyable précision de 387'000'000'000'000,0005 ! A faire hurler les profs de physique et de maths...

lundi 10 novembre 2008

Editeur d'équations pour le web

LaTeX equation editor for the internet permet de créer des formules en ligne, qui pourront ensuite être collées sur une page web. Je ne l'ai pas essayé à fond, mais il me semble que c'est utilisable même si, comme moi, on est allergique à LaTeX.

dimanche 9 novembre 2008

Neuf-Brisach

Ce village situé sur la rive gauche du Rhin vaut son origine à Louis XIV qui fit appel à Vauban pour créer et fortifier une cité représentant la porte d'entrée de l'Alsace devenue vulnérable après le traité de Ryswick. C'est ainsi que cette ville a émergé d'un terrain vierge face à Vieux Brisach devenue propriété allemande. Neuf-Brisach a la forme octogonale pourvue d'une triple ligne de défense. Dernier ouvrage de Vauban, c'est un véritable bijou, témoin quasi intact de l'architecture militaire du Grand Siècle. Grâce à son système défensif, la cité a résisté au siège des Autrichiens en 1814, aux bombardements de la guerre de 1870 puis aux deux guerres mondiales.




Neuf-Brisach est inscrite sur la liste du patrimoine mondial de l'UNESCO depuis le 7 juillet 2008.

Pour en savoir plus sur les fortifications de Vauban : De la fortification
Un site sur Neuf-Brisach : http://neuf-brisach.net/

samedi 8 novembre 2008

Le carré fortifié

Un article tiré du Magazine Tangente no 124, p. 38.

vendredi 7 novembre 2008

Nombre Taxicab

En mathématiques, le nième nombre taxicab, noté Ta(n) ou Taxicab(n), est défini comme le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes à l'ordre des opérandes près. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1954 que de tels nombres existent pour tous les entiers n ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment les construire, et pour le moment, seuls les cinq premiers nombres taxicab sont connus :

Ta(1) = 2 = 13 + 13
Ta(2) = 1729 = 13 + 123 = 93 + 103
Ta(3) = 87539319 = 16733 + 43633 = 22833 + 42333 = 25533 + 41433
...

Ta(2) fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657 et fut plus tard immortalisé par une anectode impliquant les mathématiciens Hardy et Srinivasa Ramanujan :

« Je [G. H. Hardy] me rappelle qu'une fois en allant le voir [Ramanujan] lorsqu'il était couché et malade à Putney, j'ai été conduit dans un taxi-cab portant le n°1729, et remarquai que le nombre (7·13·19) semblait plutôt ennuyeux, et j'espérai qu'il ne fût pas un présage défavorable. « Non », me dit-il, « c'est un nombre très intéressant ; il est le plus petit nombre exprimable comme une somme de deux cubes [positifs] en deux manières différentes. »


Les nombres taxicab postérieurs furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs; John Leech obtint Ta(3) en 1957, E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent Ta(4) en 1991, et David W. Wilson trouva Ta(5) en novembre 1997.

Source : Wikipédia

jeudi 6 novembre 2008

Les Mathématiques en 14 mots-clés



La revue La Recherche publie un numéro Hors Série intitulé "Les Mathématiques en 14 mots-clés". Ce numéro est en fait une compilation des "Bac to basics" mathématiques déjà publiés dans la revue.

Les 14 mots-clés choisis sont : les nombres premiers, les nombres complexes, pi et la quadrature du cercle, les polynômes, les fonctions, les intégrales, le point, le triangle, les graphes, les algorithmes, le programme, la simulation numérique, le hasard, les sondages.

mercredi 5 novembre 2008

La vache - Lily

lundi 3 novembre 2008

Strophoïde



Strophoïde

Courbe étudiée par Barrow (l'un des professeurs de Newton) en 1669, par Quételet en 1810 et par Chasles ; le nom a été donné par Montucci en 1846. Strophoïde vient du grec strophos « cordon, ceinture, torsade ».
Autres noms : focale de Quételet, focale à noeud, courbe harmonique.

Pour en savoir plus : mathcurve.com

dimanche 2 novembre 2008

La vache - Fête de la bière

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